¿Cuál es la forma correcta: Dar que pensar o Dar qué pensar?

Con el sentido de ‘darle a alguien ocasión o motivo para sospechar que hay en una cosa algo más de lo que se manifiesta’ la forma de la locución es dar que pensar o dar en qué pensar, variante esta que el DRAE considera preferible.
Este comportamiento suyo nos da mucho que pensar.
Este comportamiento suyo nos da mucho en qué pensar.

No es correcto escribir la locución con la forma que acentuada, ⊗dar qué pensar, a pesar de que a veces se pronuncia tónico.

El DPD considera que en todos los casos se trata de un relativo y la oración
subordinada no debe considerarse, por tanto, interrogativa o exclamativa.

Tu actitud de estos días da qué pensar.
Tu actitud de estos días da que pensar/da en qué pensar.

Otras locuciones verbales similares a esta que se construyen con «dar que + infinitivo» para indicar que lo expresado por el sujeto provoca la acción denotada por el infinitivo son:

dar que hablar, ‘ocupar la atención pública por algún tiempo’: Sus declaraciones darán mucho que hablar durante los próximos días.

dar que decir, ‘ofrecer ocasión a murmuración y a censura’: Ese comportamiento va a dar que decir.

dar que hacer, ‘causar molestia o perjuicios’: Mis nietos me dan mucho que hacer.

dar que sentir, ‘causar pesadumbre o perjuicio’: Si sigues por ese camino darás mucho que sentir a quienes te aprecian.

Tomado del libro Las 500 dudas más frecuentes del español